Ensemble de solutions de y' = ay

Théorème

Soit \(a\) un réel non nul.
Les solutions sur \(\mathbb R\) de l'équation différentielle  \(y'=ay\) sont les fonctions définies sur \(\mathbb R\) et de la forme \(\boxed{x\mapsto k\text e^{ax}}\) , où \(k\in\mathbb R\) . 

Démonstration

Soit \(a\) un réel non nul. On considère l'équation différentielle  \(y'=ay\) et on s'intéresse à ses solutions.

• Soit \(k\) un réel. La fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par \(f: x\mapsto k\text e^{ax}\) est bien solution sur \(\mathbb R\) de l'équation différentielle. En effet, pour tout \(x\) réel, on a  \(f'(x)=ka\text e^{ax} = a\times k\text e^{ax} = af(x)\) .
  Ainsi, les fonctions de la forme \(x\mapsto k\text e^{ax}\) où \(k\in\mathbb R\) sont solutions sur \(\mathbb R\) de l'équation différentielle.
  
• Montrons que ce sont les seules. Soit \(g\) une solution sur \(\mathbb R\) de l'équation différentielle.
  On pose, pour tout   \(x\)   réel,  \(z(x)=g(x)\text e^{-ax}\) .
  Montrons que \(z\) est une fonction constante sur \(\mathbb R\) .
  Pour tout   \(x\)  réel,  \(z'(x)=g'(x)\text e^{ax}-ag(x)\text e^{-ax}=\text e^{ax}(g'(x)-ag(x))\) .
  Or   \(g\)   est une solution   sur \(\mathbb R\) de l'équation différentielle \(y'=ay\) , c'est-à-dire que, pour tout réel \(x\) on a  \(g'(x)=ag(x)\) soit \(g'(x)-ag(x)=0\) .
  Alors, pour tout   \(x\)   réel,  \(z'(x)=0\) .
  Donc il existe un réel  \(k\) tel que, pour tout réel  \(x\) , on a  \(z(x)=k\) .
  D'où, pour tout réel \(x\) ,  \(g(x)=k\text e^{ax}\) .
  

Conclusion
Les solutions sur \(\mathbb R\) de l'équation différentielle  \(y'=ay\) sont les fonctions définies sur \(\mathbb R\) et de la forme \(x\mapsto k\text e^{ax}\) , où \(k\in\mathbb R\) .

• Illustration du théorème dans le cas \(\boldsymbol{a<0}\)
  

• Illustration du théorème dans le cas \(\boldsymbol{a>0}\)
  

Remarques

• Si \(f\) et \(g\) sont deux fonctions solutions sur un intervalle \(I\) de l'équation différentielle \(y'=ay\) , alors la fonction \(f+g\) est également solution de cette équation différentielle.
• Soit un réel \(k\) . Si  \(f\) est une solution sur un intervalle \(I\) de l'équation différentielle \(y'=ay\) , alors la fonction \(kf\)  est également solution de cette équation différentielle.